Rozwijanie kompetencji myślenia matematycznego

Polska szkoła pozostaje na ogół bastionem rozwijania myślenia matematycznego ucznia, opierającego się na zasadzie magazynowania określonych, zaprezentowanych przez nauczyciela lub podręcznik algorytmów, a następnie – przez wyćwiczenie sposobów posługiwania się nimi – doprowadzania do pomyślnego rozpoznania problemu. Oznacza to, że myślenie matematyczne ucznia ma polegać wyłącznie na kroczeniu śladami wyznaczonymi przez prowadzącego. O żadnej samodzielności intelektualnej, oczywiście, w tym wypadku trudno mówić.

Co gorsza, proces identyfikacji algorytmu niezbędnego do rozwiązania problemu sprowadza się do łączenia zadania nie ze stopniem trudności, ale z tematem, jak np. „zadanie na równanie” lub „zadanie na porównywanie ułamków”, wskutek czego uczeń stara się gromadzić w pamięci raczej zbiór prostych technik – niemal trików – niż wypracować sobie system rozumienia zależności matematycznych.

Tymczasem w nowoczesnej pedagogice w dochodzeniu ucznia do strategii poznawczych stawia się na jego samodzielność, osobiste zaangażowanie w opracowywanie procedur oraz odważne wysuwanie hipotez i trafność ich weryfikacji. Ten rodzaj aktywności poznawczej jest jednak możliwy tylko wówczas, gdy poruszanie na lekcji nowych zagadnień z matematyki nie jest rodzajem pogadanki nauczyciela, w czasie której wiedzie on uczniów ku poprawnej odpowiedzi, lecz stanowi etap samodzielnego dochodzenia uczestników do prawidłowych wyników. Takie pełne inwencji myślenie uczniów rozwija się szczególnie podczas pracy w małych grupach, kiedy każdy może swoje pomysły konfrontować z propozycjami innych, a następnie wspólnie dążyć do rozwiązania zadania.

W odróżnieniu od myślenia odtwórczego taki właśnie model edukacji matematycznej uważa się za wspierający rozwijanie kompetencji myślenia twórczego. Istotnymi krokami na drodze do zrozumienia procesów uczenia się i nauczania matematyki były hipotezy powtarzalności i wykorzystywania sformułowane przez U. Neissera (1967) w kwestii sposobów zapamiętywania. Otóż w psychologii przez długi czas zakładano, że pamięć przechowuje wyniki i wytwory własnej aktywności poznawczej, które stanowią bardziej lub mniej dokładne kopie rzeczywistości i które jednostka może następnie wielokrotnie przywoływać w niezmienionej postaci. Odniesione do szkolnej praktyki matematycznej, oznacza to, że uczeń zapamiętuje np. prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania lub regułę o podzielności przez tę samą liczbę obu stron równania i w dowolnej chwili – kiedy struktury te są mu potrzebne – wydobywa je z zasobów pamięci. Ta hipoteza niewątpliwie podkreśla cechę powtarzalności w cyklu zapamiętywania i przypominania.

Tymczasem według Neissera pamięć zachowuje nie wytworzone dane, ale przebieg aktów poznawczych prowadzących do uzyskania wyników w rozwiązywaniu nadarzających się zadań. Innymi słowy, w pamięci zachowują się nie wytwory naszego myślenia, ale strategie myślenia, jakie uruchamialiśmy, by dojść do właściwego rezultatu. Operacje przywoływania tych strategii przebiegają tak szybko, że nie zdajemy sobie z tego sprawy. Przypuszczenie, że proces rozumowania opiera się na „odnawianiu” w umyśle nie danych, ale strategii, nazwał uczony hipotezą wykorzystywania. Jeśli uczeń jedynie zapamiętywał wywód nauczyciela albo w trakcie wykładu odgadywał, co mentor ma na myśli, w nowej sytuacji ratuje się, wykorzystując nieefektywną taktykę, znaną pod nazwą „przypomnij sobie”, bo takie strategie, jak odkrywanie, przybliżone kojarzenie, wyszukiwanie przypadków podobnych, korygowanie warunków, myślenie hipotetyczne itp. – nie zostały mu w odpowiednim czasie zaszczepione.  

Dalszą część artykułu chciałabym poświęcić opisaniu jednej z tych twórczych strategii, mianowicie – klasyfikacji stosowanej w geometrii, przewidzianej do opanowania przez uczniów starszych klas szkół podstawowych. Niech posłuży to za przykład rozwiązywania wielu problemów, dla których klasyfikowanie obiektów matematycznych stanowi podstawę.

Ten sposób prowadzenia zajęć matematycznych oparłam na modelu uczenia się i nauczania według B. Joyce«a (1999), który nazwał on myśleniem indukcyjnym. Uważał, iż istotą tego procesu jest ciągłe zbieranie i segregowanie informacji, a następnie konstruowanie koncepcji, zwłaszcza w postaci kategorii. Właśnie klasyfikowanie i określanie kategorii są następującymi po sobie dynamicznymi etapami zbierania informacji prowadzącymi do indukcyjnego procesu uczenia się i nauczania. Można powiedzieć, że klasyfikowanie jest jedną z podstawowych czynności intelektualnych uruchamianych w procesach rozumienia rzeczywistości. Również w matematyce porządkowanie i klasyfikacyjne grupowanie znaczeń pozwala na zrozumienie zależności logicznych i przeprowadzanie dedukcji. Natomiast opanowywanie gotowych klasyfikacji kieruje wysiłek intelektualny ucznia raczej w stronę ćwiczeń pamięciowych.

Tę dziedzinę wiedzy, jaką jest nazewnictwo, pomyślnie zastosowała w praktyce szkolnej Dorota Klus-Stańska (2000); terenem jej doświadczeń jest Autorska Szkoła Podstawowa „Żak” w Olsztynie. Choć sama wiedza nazewnicza – zdaniem pedagog – nie stymuluje myślenia ucznia, jednak odgrywa istotną rolę w porządkowaniu znaczeń, w tym matematycznych, wiąże się bowiem ze znajomością typów, klas, odmian różnych elementów rzeczywistości wyróżnianych ze względu na przyjęte kryterium klasyfikacyjne. Kiedy kryteria porządkowania nie są uczniowi dane z góry, ale musi je sam tworzyć, proces zapamiętywania przebiega z gruntu odmiennie pod względem intelektualnym i motywacyjnym, gdyż opanowywanie gotowych systemów wymaga przede wszystkim aktywizacji pamięci, natomiast ich tworzenie ma bardziej złożony pod względem poznawczym charakter.

Według D. Klus-Stańskiej jest znacznie wygodniej podążać do rozstrzygnięć, kiedy przedmiotem poznawania są nazwy, typologie i kategorie, a nie opieranie się na gotowych wzorcach postępowania, co stanowi zawężanie sposobu postrzegania rzeczywistości oraz związków między jej elementami. Uczeń jest wówczas przekonany, że klasyfikować można tylko w jeden sposób, a inne cechy przedmiotu badania, mimo że istnieją, są nieważne.

Z przytoczonych teorii wynika, że w dydaktyce chodzi o takie działania, które mogą wyposażyć ucznia w wiedzę wyjaśniającą, i – co ważniejsze – wiedzę interpretacyjną, aktywizujące jego zdolności poznawcze w zakresie myślenia przyczynowo-skutkowego, tj. myślenia krytycznego.

W pierwszych latach mojej pracy dydaktycznej działałam zgodnie z wyuczonym modelem przekazywania wiedzy: każdy temat realizowałam według zasad transmisyjnej metodyki nauczania matematyki jako coś obiektywnego i powtarzalnego, co można uzasadnić dzięki zmysłom i pomiarom. Podawałam uczniom, na przykład, klasyfikację czworokątów, potem omawialiśmy te czworokąty pod względem cech wyszczególnionych w klasyfikacji i sprawdzaliśmy, czy wszystkie figury o czterech bokach, które mają przynajmniej jedną parę boków równoległych, pasują do tego podziału. Następnie uczniowie wykonywali szereg analogicznych poleceń z podręcznika, a ich zadaniem było przyporządkowanie danej figury do określonej z góry klasyfikacji.

Realizując ten temat, nie miałam wtedy jasnego zdania, jaki cel mam osiągnąć w pracy z uczniami, a już zupełnie nie mogłam sobie wyobrazić, co działo się w ich umysłach. Wystarczyło mi, kiedy sprawdziłam, że dostatecznie opanowali podaną klasyfikację, ale już nie dociekałam przyczyn kłopotów uczniów z odpowiedzią na pytanie: Czy każdy prostokąt jest kwadratem, a kwadrat prostokątem?

Kilka lat temu podjęłam pracę nauczycielską we wspomnianej szkole „Żak” w Olsztynie. Wtedy zetknęłam się z opisanymi wyżej nowoczesnymi metodami pracy z uczniami, jakże odmiennymi od tych, które skrupulatnie stosowałam w swojej dotychczasowej praktyce. Nowe doświadczenia pedagogiczne sprawiły, że inaczej teraz patrzę na możliwości nauczania matematyki. Staram się kierować uwagę uczniów na samodzielne odkrywanie reguł i tworzenie własnych procedur postępowania matematycznego.

Historia pewnej lekcji

Chciałabym teraz przedstawić zaprojektowany przeze mnie przebieg lekcji w klasie V na temat klasyfikacji czworokątów. Po podzieleniu się na 3-4-osobowe grupy uczniowie zajęli się układaniem z gumek na geoplanach różnych czworokątów. Szybko wyszło na jaw, że najciekawsze w budowaniu były te figur, które można nazwać. Uczniowie często prosili o przypomnienie takich nazw, jak trapez, romb czy deltoid i budowali z zapałem na przykład równoległoboki.

Zaleciłam następnie, aby każda grupa zbudowała różne czworokąty. Zwracałam uwagę tylko na to, by figury należały do tego samego typu – powiedzmy równoległoboków. Potem zapytałam, dlaczego dany czworokąt można nazwać prostokątem, a inny trapezem oraz – czemu zawdzięczać, że sami wiedzą, jaką nazwę im przyporządkować? Na to pytanie mieli odpowiedzieć po dyskusji w grupach. Kiedy argumenty i pomysły w poszczególnych zespołach były uzgodnione, poprosiłam, żeby każda grupa ułożyła zagadkę, której przedmiotem byłby czworokąt.

Oto próbka: Jaki to czworokąt, który ma dwa boki krótkie, a dwa długie? Przytoczę dialog, który się następnie wywiązał. W odpowiedzi na pytanie Adam odpowiedział: – Prostokąt. Na to Bartek: – Nie, to jest równoległobok. – A nie może być trapez? – rzuciła Kasia i narysowała go na tablicy. – To znaczy, że mogą być różne czworokąty – wyciągnął wniosek Rafał.

Kolejna grupa przedstawiła zagadkę wymagającą głębszego zastanowienia: Czworokąt ma każdy bok inny, dwa kąty takie same, pozostałe dwa są inne i nie są takie same.

Aby pomóc w rozstrzygnięciu problemu, poprosiłam o narysowanie czworokąta według tego wskazania. Niektórzy znaleźli taki trapez (prostokątny), inni otrzymali czworokąt, który był nieforemny i nie miał swojej nazwy.

Trzecia zagadka była efektem zwrócenia uwagi na inne cechy czworokątów: Jedna przekątna jest dłuższa od drugiej. Dwa boki są równe i dwa są inne i też równe. Ma trzy kąty ostre i jeden rozwarty.

Wywiązał się następujący dialog: – To może jest równoległobok? – powiedział Wojtek. Na to Tomek: – Przecież on nie ma takich kątów. Wreszcie kolejny uczeń wpadł na właściwą odpowiedź: – To może być tylko deltoid, bo ma dwa boki równe i dwa pozostałe też równe.

Ostatnia zagadka spowodowała inne spojrzenie na cechy czworokątów: Jaki czworokąt ma dwa boki równoległe? Oto zanotowane odpowiedzi:
– Trapez. – A nie może być prostokąt, ale kwadrat? – No właśnie, to mogą być wszystkie, które mają swoje nazwy, oprócz deltoidu. – To ja już rozumiem, taką cechę mają wszystkie czworokąty, to jest taka duża rodzina.

Zapytałam w tym momencie, czy można powiedzieć, że kwadrat jest trapezem, tzn. należy do tej rodziny? Jeden z uczniów odpowiedział natychmiast: – Jasne. Wówczas zaproponowałam, żeby Szymon pomyślał nazwę jakiegoś czworokąta, a Magda, zadając pytania, będzie zmierzać do odkrycia nazwy tej figury. Dodatkowe utrudnienia polegały na tym, że pytania musiały być tak skonstruowane, aby odpowiedź mogła brzmieć „tak” lub „nie”, a ich liczba powinna ograniczyć się do minimum. Oto przebieg zabawy:
M: – Czy ten czworokąt ma dwie pary boków równoległych?
Sz: – Nie.
M: – Czy ma wszystkie kąty proste?
Sz: – Nie.
M: – Czy ma jedną parę boków równoległych?
Sz: –Tak.
M: – Czy to trapez?
Sz. – Tak.
Na to odezwała się Ola: – To ostatnie pytanie chyba nie było potrzebne, bo przecież skoro ma jedną parę boków równoległych, to musi być trapez. Wszyscy zgodzili się z uwagą Oli, zagadnęłam więc, czy można było zadać mniej pytań? Na co Ola: – To o kątach było chyba niepotrzebne, bo jeśli czworokąt nie ma dwóch par boków równoległych, to może być albo trapez, albo deltoid. A Sebastian uzupełnił: – No właśnie, a gdyby miał wszystkie kąty proste, to musiałby mieć boki równoległe, jak prostokąt.

Zaproponowałam następnie, aby pracując w grupach, spróbowali napisać program dla maszynki odgadującej, jaki czworokąt mają na myśli. Na końcu maszynka musi odkryć nazwę pomyślanego przez nich czworokąta.

Uczniowie opracowali sposób działania takiej maszynki, spierając się w grupach na temat rodzaju pytań, a następnie każda z grup przedstawiła efekt swojego pomysłu. Pytaniami kluczowymi okazały się dwa: Czy ten czworokąt ma jedną parę boków równoległych? Czy ma wszystkie kąty proste? „Programy działania” niektórych maszynek zawierały pewne błędy, które zostały skorygowane przez uczniów z innych grup. Po umieszczeniu wszystkich maszynek na filcowej tablicy jeden z uczniów otworzył książkę i zobaczył rysunek przedstawiający klasyfikację czworokątów. Zadowolony skonstatował, że autorzy podręcznika poszli tym samym tropem co oni, tzn. nie preferowali „lepszych” cech czworokątów, ale zastosowali klasyfikację wielokątów.

Bo też celem pracy uczniów było tworzenie własnych klasyfikacji według właściwości, które w ich umysłach nadają znaczenie, na przykład pojęciu romb. Dzięki takiej aktywności poznawczej uczeń dochodzi do znaczeń już istniejących, choć tę wiedzę odkrywa niejako na własną rękę, tworząc przy tym teorię objaśniającą rzeczywistość. A pracując w małych zespołach, ma większą możliwość sprawdzania stopnia dokładności swoich hipotez, uczy się krytycznie myśleć i tym samym szukać najlepszych rozwiązań.

Bardzo ważna dla aktywizowania umysłowego uczniów jest świadomość, że informacji udziela im nie autorytet w postaci nauczyciela, który wszystko wie i w dodatku natychmiast ocenia efekt przemyśleń, ale że sami dochodzą do sedna sprawy. Ta sytuacja nie powoduje niepokoju o popełnienie pomyłki, ponieważ kolega, jeśli nawet odkryje jakiś błąd, będzie jedynie twórcą swojej własnej, trochę innej hipotezy. Tak postrzegana edukacja na lekcji jest również źródłem poczucia bezpieczeństwa i kompetencji uczniów.


Alina Kalinowska
Autorska Szkoła Podstawowa „Żak” w Olsztynie